张益唐北大讲座：本质上已证明“零点猜想”，结果可改进

作者：澎湃新闻

发布时间：2022-11-08 09:23

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2022年11月8日上午，在面向北大师生和公众的公开演讲中，美籍华裔数学家、加州大学圣塔芭芭拉分校教授张益唐教授表示，在本质上，他已经证明了朗道-西格尔零点猜想。只是像他此前关于孪生素数猜想的研究结果一样，其结果可以被改进。最新研究突破将有很多应用，带来很多定理。

换句话说，张益唐的最新论文表明，在特定范围内，朗道-西格尔零点不存在。在这一情况下，朗道-西格尔零点猜想正确或成立。

“朗道-西格尔零点”被定义为广义黎曼猜想的反例。断言“朗道-西格尔零点”不存在的猜测，被称为朗道-西格尔零点猜想。

美籍华裔数学家、加州大学圣塔芭芭拉分校教授张益唐此外，20多天前，在美东时间10月14日下午8时（北京时间10月15日上午8时）举行的北京大学大纽约地区校友会第十期“未名传承系列活动”上，张益唐也表示，“我最近在数学上又作出了一个应该说是很大的成果。可以说是弱一点的形式，但本质上已经是解决了朗道-西格尔零点（猜想）问题。解析数论的同行会知道，这个问题的解决，可能比孪生素数猜想的意义更大。”张益唐于2013年4月17日在《数学年刊》（Annals of Mathematics）发表《素数间的有界间隔》，首次证明了存在无穷多对素数对（p, q），其中每一对素数之差，即p和q的距离，不超过7000万。这为世纪难题“孪生素数猜想”的解决做出了突破性工作，他从一位默默无闻的大学讲师跻身世界重量级数学家的行列。

随后，“7000万”这一数字，被数学界同行改进到600和246。

这次“7000万”这一数字变为2024。

11月6日上午11:05，山东大学微信公众号发布了山东大学数学学院教授、博士生导师、原数学学院副院长、山东大学澳国立联合理学院执行院长吕广世、山东大学数据科学研究院教授、博士生导师黄炳荣等人联合撰写的文章称，张益唐教授介绍了他在朗道-西格尔零点猜想研究方面的创新思想，在其最新预印本论文里证明了：模D的实原特征L-函数在区间（1c(logD)^2024,1】内没有实零点。

“如果把这里的2024换成1，就得到原始形式的朗道-西格尔零点猜想。2024虽然大于1，但在数学意义上，与1并没有实质性的差别。”山东大学微信公众号上述文章称。

山东大学微信公众号上述文章称，“如果我们相信广义黎曼猜想，那么朗道-西格尔零点应该不存在。朗道-西格尔零点的研究非常重要，是解决很多数论问题的瓶颈。所谓的朗道-西格尔零点猜想断言，朗道-西格尔零点确实不存在。这是数论中长期悬而未决的重要猜想。一旦证明了朗道-西格尔零点猜想，就可以取得很多新突破，简化和加强很多经典数论结果。”“素数分布一直是数论研究的中心问题…… 正如黎曼zeta函数的零点分布与素数分布之间有着深刻密切的联系，狄利克雷L-函数零点分布也在素数理论中发挥广泛而根本性的作用，与素数分布的诸多核心问题有着深刻的内蕴联系，如哥德巴赫猜想、孪生素数猜想等。”

2007年5月29日，张益唐就曾在预印本网站arXiv提交了一篇标题为《论郎道-西格尔零点猜想》（On the Landau-Siegel Zeros Conjecture）的论文。该论文一共13小节，54页。该论文称，“我们提供了朗道-西格尔零点猜想的一个变体的证明。”

张益唐在网站arXiv上公开的三篇预印本论文15年后，张益唐再次发布关于朗道-西格尔零点猜想（the Landau-Siegel Zeros Conjecture）的论文。在内部流出两天后，2022年11月7日，其最新论文在预印本网站arXiv上正式对外公开。

这次，他信心十足，“我敢肯定的说，我做出来了。我知道我这么做是对的。”

一如他上一次取得数学研究上的重大突破时的演讲——2013年在哈佛大学进行关于孪生素数猜想的学术报告，2022年11月8日上午，张益唐教授受邀，通过网络向北京大学师生和社会进行“关于郎道-西格尔零点猜想”的学术报告。三天前，11月5日上午，张益唐教授也为山东大学师生进行了类似演讲。

如果进行对比，与2013年在哈佛大学的演讲不同的是，9年后这次关于朗道-西格尔零点猜想新突破的论文尚未在学术期刊上正式发表。但也已经也起数学界和公众的极大关注。

张益唐1955年2月出生在上海，祖籍浙江平湖；系北京大学78级校友，曾师从潘承彪教授攻读硕士学位。

1985年，张益唐到美国普渡大学攻读博士学位，随后遭遇种种坎坷。因为博士论文的结果没有发表，加上导师连一封推荐信都不愿意写，张益唐毕业后连个博士后的工作都没有找到。

因坎坷的人生经历和突出的数学成就，张益唐被称为传奇数学家。他30岁出国留学，但发表重要论文时已近60岁。

北京大学校友网在一篇介绍张益唐的文章中称，他是“半生潦倒”的传奇数学家。

在北京大学大纽约地区校友会交流座谈会，张益唐在回答“（数学研究）是否需要异常天赋”提问时说，别想太多，先做再说，“天赋，或需激发。”

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张益唐北大讲座：本质上已证明“零点猜想”，结果可改进

作者：36氪

发布时间：2022-11-08 09:45

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在面向北大师生和公众的公开演讲中，美籍华裔数学家、加州大学圣塔芭芭拉分校教授张益唐教授表示，在本质上，他已经证明了朗道-西格尔零点猜想。只是像他此前关于孪生素数猜想的研究结果一样，其结果可以被改进。最新研究突破将有很多应用，带来很多定理。换句话说，张益唐的最新论文表明，在特定范围内，朗道-西格尔零点不存在。在这一情况下，朗道-西格尔零点猜想正确或成立。（澎湃）

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张益唐最新论文正式公开 同行：写得很清楚且策略明智

作者：浙江日报

发布时间：2022-11-07 20:34

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美籍华裔数学家、加州大学圣塔芭芭拉分校教授张益唐

澎湃新闻获悉，在内部流出两天后，11月7日，美籍华裔数学家、加州大学圣塔芭芭拉分校教授张益唐关于郎道-西格尔零点猜想（the Landau-Siegel Zeros Conjecture）的最新论文在预印本网站arXiv上正式对外公开。

张益唐关于郎道-西格尔零点猜想的最新论文正式对外公开

该网站显示，上述论文于当地时间2022年11月4日15:17提交至该网站，其PDF文件大小577KB，全文111页，正文18个小节，并公布了两个定理。

论文的标题是《离散均值估计和朗道-西格尔零点》（Discrete mean estimates and the Landau-Siegel Zero）。

澎湃新闻注意到，这一论文的标题，与张益唐教授2021年12月10日在日本庆应义塾大学理工学部学术报告时的主题仅一词之差。后者为《离散均值公式和朗道-西格尔零点》（Discrete mean formulas and the Landau-Siegel zero）。

对于张益唐的上述论文，国际学术同行怎么看？

11月6日，菲尔兹奖得主詹姆斯·梅纳德（JamesMaynard）的博士生导师、致力于解析数论领域的英国数学家、牛津大学数学研究所退休教授罗杰·希思-布朗（Roger Heath-Brown FRS）向澎湃新闻表示，“好好研读这篇论文需要很长时间，所以我现在还不能说它是否正确。但它写得很清楚，而且策略明智。”

对于自己的证明，张益唐教授信心满满。20多天前，在美东时间10月14日下午8时（北京时间10月15日上午8时）举行的北京大学大纽约地区校友会第十期“未名传承系列活动”上，张益唐表示，“我最近在数学上又作出了一个应该说是很大的成果。可以说是弱一点的形式，但本质上已经是解决了朗道-西格尔零点（猜想）问题。解析数论的同行会知道，这个问题的解决，可能比孪生素数猜想的意义更大。”

“我敢肯定的说，我做出来了。我知道我这么做是对的。”张益唐在上述活动的在线报告中说。

朗道-西格尔零点猜想被认为是广义黎曼猜想的一种特殊并且可能比其弱得多的形式。它断言“朗道-西格尔零点”不存在。“朗道-西格尔零点”被定义为广义黎曼猜想的反例。

11月5日上午，张益唐教授就上述研究的新突破向山东大学师生作了线上学术报告。

一天后，11月6日上午11:05，山东大学微信公众号发布了山东大学数学学院教授、博士生导师、原数学学院副院长、山东大学澳国立联合理学院执行院长吕广世、山东大学数据科学研究院教授、博士生导师黄炳荣与党委宣传部工作人员张丹丹联合撰写的文章。

该文章称，张益唐教授介绍了他在朗道-西格尔零点猜想研究方面的创新思想，在其最新预印本论文里证明了：模D的实原特征L-函数在区间（1c(log D)^2024,1】内没有实零点。

“如果把这里的2024换成1，就得到原始形式的朗道-西格尔零点猜想。2024虽然大于1，但在数学意义上，与1并没有实质性的差别。”山东大学微信公众号上述文章称。

但这是否意味着，张益唐在实质上已经证明了朗道-西格尔零点猜想？有待数学界专家们的确认。

山东大学微信公众号上述文章称，“如果我们相信广义黎曼猜想，那么朗道-西格尔零点应该不存在。朗道-西格尔零点的研究非常重要，是解决很多数论问题的瓶颈。所谓的朗道-西格尔零点猜想断言，朗道-西格尔零点确实不存在。这是数论中长期悬而未决的重要猜想。一旦证明了朗道-西格尔零点猜想，就可以取得很多新突破，简化和加强很多经典数论结果。”“素数分布一直是数论研究的中心问题…… 正如黎曼zeta函数的零点分布与素数分布之间有着深刻密切的联系，狄利克雷L-函数零点分布也在素数理论中发挥广泛而根本性的作用，与素数分布的诸多核心问题有着深刻的内蕴联系，如哥德巴赫猜想、孪生素数猜想等。”

在山东大学的讲座中，张益唐等人随后围绕中国数论学派的传统与对原始创新的不懈追求，中国数论学派的研究特色和优势，以及数论研究的发展等话题进行了深入探讨。张益唐教授谈到，数论在任何时候都是有发展前途的，严谨治学的风格、锲而不舍的精神非常重要，经典方法是否有效，取决于你是否能把它做到极致。

在上述北京大学大纽约地区校友会的活动中，张益唐说，解决朗道-西格尔零点猜想问题，最后归结到就是做一个不等式；就是要构造一组数。“有人说孪生素数猜想是大海捞针，其实朗道-西格尔零点才是大海捞针。这些年来我试了无数种（情况），试数给代进去， 我建立了一整套公式，所以能去算。我试了无数种情况，每一次都差一个 ε（音：伊普西龙）。”

张益唐于2013年4月17日在《数学年刊》（Annals of Mathematics）发表《素数间的有界间隔》，首次证明了存在无穷多对素数对（p, q），其中每一对素数之差，即p和q的距离，不超过7000万。这为世纪难题“孪生素数猜想”的解决做出了突破性工作，他从一位默默无闻的大学讲师跻身世界重量级数学家的行列。

大海捞针想要解决朗道-西格尔零点猜想问题的张益唐称，他把“海底”查遍了，最后发现，不要这根针也能解决这一零点猜想问题。

他说，“最早1837年狄利克雷开始研究这个问题，那也将近200年了……始终差一个ε（音：伊普西龙），始终就是没法突破。但应该说，我还是突破了，最后我把它给做成了。”

被提前内部流出的张益唐的最新论文在知名社交论坛 Reddit上也被网友热议。在知名数学互动网站mathoverflow上，有网友问，假设张益唐的证明是正确的，那么，接下来会有哪些著名的数论结果？

微信公众号“ 普林小虎队”援引相关信源称，张益唐的同事、曾说过“如果张益唐能够证明朗道-西格尔零点猜想，就相当于一个人被闪电击中两次”的解析数论专家Jeffrey Stopple指出，张益唐的成果能够用来研究欧拉和高斯遗留下来的一个关于“方便数”（idoneal number）的问题，把它化为有限次计算。当然，所有一切都建立在张益唐论文是正确的基础之上。

在北京“未来科学大奖周2019”上，张益唐表示，在很多研究方面，因为我们不知道郎道-西格尔零点到底存在不存在，于是数论学家们就只好去讨论两种情况：如果它存在，会得出什么结论？如果它不存在，会得出什么结论？“如果这个零点真存在，不得了！广义黎曼假设就错了……我们会得到很多的推论，而且是非常强的推论，甚至强的有点过头了。”

15年前，2007年5月29日，张益唐就在预印本网站arxiv提交了一篇标题为《论郎道-西格尔零点猜想》（On the Landau-Siegel Zeros Conjecture）论文称，“我们提供了朗道-西格尔零点猜想的一个变体的证明。”但据说证明过程存在问题。

而这一次，人们希望张益唐取得数学研究上的又一个重要突破。

北京大学、北京大学数学科学学院、北京国际数学研究中心等微信公众号11月5日下午发布消息称，张益唐教授受邀，将于11月8日上午9:00-10:00在线上进行“关于郎道-西格尔零点猜想”的学术报告。

（原标题《张益唐最新论文正式公开，英国数学家称其写得很清楚且策略明智》。编辑 梁亮）

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15年磨一剑！张益唐111页零点猜想论文终于来了

作者：新智元

发布时间：2022-11-07 00:48

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编辑：编辑部

【新智元导读】从孪生素数猜想，到郎道-西格尔零点猜想，这个了不起的男人，他真的「被闪电击中了两次」！

昨天，著名华裔数学家张益唐教授在攻克数学界著名难题之一——郎道-西格尔零点猜想问题的道路上再进一步！

目前，解决这个零点猜想问题的111页的完整版预印本论文「Discrete mean estimates and the Landau-Siegel zero」已经可以下载。

论文链接：

https://pan.baidu.com/s/1GM61FrLynSfpSn67SoaHow?pwd=1105

上个月，张益唐教授在北京大学大纽约地区校友会举办的一次在线学术活动上透露，已解决郎道-西格尔零点猜想（Landau-Siegel zeros conjecture）问题，立即引发数学界广泛关注。

昨天，张益唐在山东大学的一次在线报告中简要介绍了这一成果。另外，他还将于11月8日在北大做《关于朗道-西格尔零点猜想》的在线报告。

据澎湃新闻报道，北京国际数学研究中心主任、北京大学数学英才班委员会主任田刚院士证实，张益唐有关朗道-西格尔零点猜想的新论文已完成并已提交至预印本网站Arxiv，预计下周一将正式上线。

张益唐教授研究的这个猜想，跟数学史上的另一个伟大问题——黎曼猜想有关，后者是数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，是百年来的一大数学难题。

郎道-西格尔零点猜想是广义黎曼猜想的某种弱形式。

据《中国科学报》今年10月的介绍：简单来讲，如果存在朗道-西格尔零点，那么黎曼猜想就是错的；如果朗道-西格尔零点不存在，则不会和黎曼猜想发生冲突。

张益唐的同事、数论学家Stopple曾说，如果张益唐能对朗道-西格尔零点作出证明，加上他的上一份成就，在某种意义上，（其概率）就像是「同一个人被闪电劈中两次」。

「即使他从未成名，做出这项工作也会让他跟上次一样，被世界瞩目。」Stopple说。

Stopple说的「上一次成就」，是张益唐2013年在《数学年刊》发表《质数间的有界间隔》，证明了存在无穷多对质数间隙都小于7000万，在孪生素数猜想这一数论重大难题上取得了里程碑式的突破。

朗道—西格尔零点

在看论文之前，首先咱们来看看，朗道—西格尔零点到底是什么。

朗道-西格尔零点猜想，是黎曼猜想的弱一些的形式。数学家们为了研究素数分布，引入了黎曼猜想。

1859年，德国数学家黎曼在论文「论小于给定数值的素数个数」中，首次提及这个猜想。

比某个特定数值要小的质数有多少个？质数在整个数列中的分布情况又是如何？

黎曼发现，质数的分布跟某个函数有着密切关系：

这个公式中，s是复数，可以写成s=a+bi这样的形式（a是s的实部、b是s的虚部、i则是根号负一）。

当s的实部小于1时，整个级数和可能会发散。为了让函数适用于更广的范围，黎曼把上面的ζ函数改写为：

当s为负偶数（s= -2, -4, -6…）时，黎曼ζ函数为零。这些s的值，就称为平凡零点。

不过，此外还有另一些s的值，能够让黎曼ζ函数为零，它们被称为非平凡零点。就是这些非平凡零点，对质数的分布有着决定性影响。

到了这里，黎曼本人也无法证明了。不过他做了一个猜测：黎曼ζ函数所有非平凡零点的实部都是二分之一，或者说黎曼ζ函数在1/2

随后的数学家们，在前人的基础上继续前进。

数学家Dirichlet引入了狄利克雷L函数。

对于这个函数，也有一个猜想：狄利克雷L函数在1/2

可以证明，L函数在σ=1时没有零点，因而可以证明等差数列上的素数定理。

但数学家们希望继续缩减L函数的非平凡零点的存在区域。有人证明出，L函数的非平凡零点基本上都能落在下面公式中的区域：

如果所有非平凡零点都满足，就可以证明带余项的等差数列素数定理。

但是朗道发现，当X满足特殊性质时，其对应的L函数可能会出现落在上面公式之外的异常零点。

不过朗道缩小了范围，他证明了L函数在下面这个区域中最多只有一个零点，而且这个零点一定是实数，阶数只能是1。这个零点就被称为西格尔零点。

数学家们希望证明的是，西格尔零点不存在，这就是朗道-西格尔零点猜想。

如果能够证明朗道-西格尔零点猜想，那么数论研究中的很多问题就不必再排除西格尔零点。

而张益唐的研究，就在极大范围内排除了朗道—西格尔零点的存在。

论文成果：比15年前强在哪里？

在10月15日北大校友线上会议上，张益唐这样说：「虽然是一个弱一点的形式，但本质上已经是解决了朗道—西格尔零点问题。」

此言一出，就引发了数学圈的大地震。如果他证明了朗道-西格尔零点存在，那么黎曼猜想就完全被否定了，这种可能性太小，因此大家当时的猜测是，张益唐要证明的应该是是朗道-西格尔零点不存在。

今天的论文一流出，果然证明了这一点。

这篇论文结果意义重大，它使得以前的很多结果从假设性结果变成了确定性结果。

据澎湃新闻援引一位数论学者的解释，以往的很多论文，要假设朗道-西格尔零点猜想成立（也即假设西格尔零点不存在）。

换句话说，这次张益唐的新论文虽然没有排除掉西格尔零点存在的可能性，但其排除掉的范围足够涵盖很多以往论文所需的范围。

实际上，张益唐对这个问题研究已久。

早在2007年5月，张益唐就曾在预印本网站arxiv提交了一篇标题为《论朗道-西格尔零点猜想》（On the Landau-Siegel Zeros Conjecture）论文，但里面的论证有些地方尚需完善。

2007年版论文链接：

https://arxiv.org/pdf/0705.4306.pdf

这次的新论文，在很大程度上完善和补充了2007版论文的结论和成果。

根据知乎答主「gujurat」的介绍，这次张益唐论文的主要成果，首先是L函数在1点处的下界估计，下界从D的负方幂改进到log D的负方幂。

2022论文 Theorem 1

其次是有关于实轴上非零区域的直接推论，常数是effecitive，说明方法上有本质变化。

2022论文 Theorem 2

相比于张益唐教授2007年发布的一版论文，这次可谓对07版的一次修补，论文也从07年版的54页扩到现在2022年版的111页。

2007年主要成果：下界估计

2007年主要成果：非零区域

如果要完整证明LS零点不存在，需要Theorem 2里面指数取到-1，所以现阶段还没有「完整」解决LS零点猜想。

在论文最后，张教授也表示Theorem 1里的指数-2022可能取到更大的负数值，但很难取到-1。

总的来说，完整解决郎道-西格尔零点猜想，无论是证明还是证否，都太过超前。

好消息是，从论文成果来看，张教授的最新论文比07年的版本有革命性的改进，至于论文究竟能取得多大的进展，还得等专业人士审稿之后才能确定。

张益唐亲自解释：这个问题难在哪？

2019年，在香港中文大学举办的「大师讲堂」上，张益唐介绍了朗道-西格尔零点问题的历史和应用，并解释为何这个问题这么重要，并且难以解决。

根据香港中文大学（深圳）整理的资料，张益唐本人是这样介绍的：

不过，目前很快即将发表的Arxiv预印本论文，距离正式登上数学界顶刊发表，尚待同行评议。

之前分析这篇论文意义的数论学者认为，这个评议过程可能会持续几个月。

论文从2007年版的54页，扩到现在2022年版的111页，审稿会是一个大工作。像这种论文，即使是顶尖的专业人士，把论文全部细节推一遍也得几个月。

11月8日，张益唐将会面向北大师生专门做一场学术报告，B站会有同步直播，感兴趣的小伙伴可以关注起来。

图源：北京大学数学科学学院官网

参考资料：

https://www.zhihu.com/question/564799818

https://mathoverflow.net/questions/433949/consequences-resulting-from-yitang-zhangs-latest-claimed-results-on-landau-sieg

https://mp.weixin.qq.com/s/7cbydb_2vYSLzpiQ6Qb2lw

https://mp.weixin.qq.com/s/OgOsgp2wklSw86LQSnpuAA

https://www.zhihu.com/question/360965839/answer/2113995432

本文多处参考了知乎答主「gujurat」对该论文内容和意义的洞见和分析，在此表示感谢！

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数论学者：张益唐新论文意义重大，但尚未完整解决“零点猜想”

作者：澎湃新闻

发布时间：2022-11-05 22:22

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张益唐 视觉中国 资料图对于张益唐有关朗道-西格尔零点猜想（Landau-Siegel zeros conjecture）的新论文，11月5日，一位看过该论文电子版的数论学者向澎湃新闻表示，论文结果意义重大，这使得以前的很多结果从假设性结果变成了确定性结果；但该论文尚未完整证明朗道-西格尔零点不存在，所以现阶段并没有完整解决朗道-西格尔零点猜想。张益唐新论文已向预印本网站提交

今年10月份，数学家、美国加利福尼亚大学圣巴巴拉分校数学系教授张益唐，在北京大学大纽约地区校友会“与数学家张益唐交流座谈”活动上透露已解决朗道-西格尔零点猜想（Landau-Siegel zeros conjecture）的消息，引发数学界关注。

11月5日，网上传言称，张益唐攻克朗道-西格尔零点猜想的论文已完成。同日，北京国际数学研究中心主任、北京大学数学英才班委员会主任田刚院士向澎湃新闻证实，张益唐有关朗道-西格尔零点猜想的新论文已完成并已提交至预印本网站arxiv，预计下周一会正式上线。

张益唐主要研究数论方向，他还是北京大学闵嗣鹤数论研究中心名誉主任、北京大学客座教授，山东大学潘承洞数学研究所所长。

澎湃新闻从一位数论学者处获悉，11月5日，张益唐参加了山东大学举行的一场学术报告活动和一场学术沙龙活动。在学术报告活动中，张益唐带来了他关于朗道-西格尔零点猜想的最新成果。

同日，上述数论学者从同行处获得了张益唐的论文《离散平均估计和朗道-西格尔零点》（Discrete mean estimates and the Landau-Siegel zero）的电子版。

早在2007年5月，张益唐就曾在预印本网站arxiv提交了一篇标题为《论朗道-西格尔零点猜想》（On the Landau-Siegel Zeros Conjecture）论文，但里面的论证有些缺陷。

朗道-西格尔零点猜想是否已解决？

张益唐新论文是否已解决朗道-西格尔零点猜想？这是当前最受外界关注的问题。

对此，看过张益唐的新论文后，上述数论学者指出，张益唐新论文对其2007年挂到arxiv上的论文进行了完善。一方面，张益唐新论文的结果较该领域以往研究结果有革命性改进；另一方面，这个结果没有好到“吓人”的程度。

“新论文尚未完整证明朗道-西格尔零点不存在，所以张益唐现阶段并没有完整解决朗道-西格尔零点猜想。同时，从张益唐的论文来看，其当前研究路线很可能无法最终解决朗道-西格尔零点猜想。”该数论学者认为，虽然这个结果证明不了朗道-西格尔零点猜想，但其“强度”已经足以在极大范围上排除西格尔零点。这种范围对于解析数论学者来说，足够将其应用到数论问题中，并得到大量有意义的结论。

该数论学者进一步解释道，以往的很多论文，要假设朗道-西格尔零点猜想成立（也即假设西格尔零点不存在）；张益唐的新论文虽然没有排除掉西格尔零点存在的可能性，但其排除掉的范围足够涵盖很多以往论文所需的范围。这使得以前的很多结果从假设性结果变成了确定性结果。

“当然，该论文需要专业人士进一步验证。论文从2007年版的54页扩到现在2022年版的111页，审稿会是一个大工作。”该数论学者说，“像这种论文，即使是顶尖的专业人士，把论文全部细节推一遍也得几个月，所以很难很快下定论。”

田刚院士也表示，张益唐的这篇论文很长，预计需要专家通过较长时间来完成论文评审工作。

关于朗道—西格尔零点猜想，《中国科学报》今年10月曾发文作介绍：该猜想与已经悬置160多年的著名数学难题“黎曼猜想”相关。简单说，如果存在朗道-西格尔零点，那么黎曼猜想就是错的；如果朗道-西格尔零点不存在，则不会和黎曼猜想发生冲突。无论是哪种结果，无疑都是数学史上里程碑式的事件。张益唐的同事、数论学家Stopple曾说，如果张益唐能对此作出证明，那么加上他的上一份成就，在某种意义上，（其概率）就像是同一个人被闪电劈中两次。“如果他从未成名，那么做出这项工作也会让他跟上次一样被世界瞩目。”

张益唐的“上一份成就”是，2013年在《数学年刊》发表《质数间的有界间隔》，证明了存在无穷多对质数间隙都小于7000万，从而在孪生素数猜想这一数论重大难题上取得重要突破。

(本文来自澎湃新闻，更多原创资讯请下载“澎湃新闻”APP)

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数论学者：张益唐新论文意义重大，但尚未完整解决“零点猜想”

作者：新浪财经

发布时间：2022-11-06 13:46

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来源：澎湃新闻

对于张益唐有关朗道-西格尔零点猜想（Landau-Siegel zeros conjecture）的新论文，11月5日，一位看过该论文电子版的数论学者向澎湃新闻表示，论文结果意义重大，这使得以前的很多结果从假设性结果变成了确定性结果；但该论文尚未完整证明朗道-西格尔零点不存在，所以现阶段并没有完整解决朗道-西格尔零点猜想。

张益唐新论文已向预印本网站提交

今年10月份，数学家、美国加利福尼亚大学圣巴巴拉分校数学系教授张益唐，在北京大学大纽约地区校友会“与数学家张益唐交流座谈”活动上透露已解决朗道-西格尔零点猜想（Landau-Siegel zeros conjecture）的消息，引发数学界关注。

11月5日，网上传言称，张益唐攻克朗道-西格尔零点猜想的论文已完成。同日，北京国际数学研究中心主任、北京大学数学英才班委员会主任田刚院士向澎湃新闻证实，张益唐有关朗道-西格尔零点猜想的新论文已完成并已提交至预印本网站arxiv，预计下周一会正式上线。

张益唐主要研究数论方向，他还是北京大学闵嗣鹤数论研究中心名誉主任、北京大学客座教授，山东大学潘承洞数学研究所所长。

澎湃新闻从一位数论学者处获悉，11月5日，张益唐参加了山东大学举行的一场学术报告活动和一场学术沙龙活动。在学术报告活动中，张益唐带来了他关于朗道-西格尔零点猜想的最新成果。

同日，上述数论学者从同行处获得了张益唐的论文《离散平均估计和朗道-西格尔零点》（Discrete mean estimates and the Landau-Siegel zero）的电子版。

早在2007年5月，张益唐就曾在预印本网站arxiv提交了一篇标题为《论朗道-西格尔零点猜想》（On the Landau-Siegel Zeros Conjecture）论文，但里面的论证有些缺陷。

朗道-西格尔零点猜想是否已解决？

张益唐新论文是否已解决朗道-西格尔零点猜想？这是当前最受外界关注的问题。

对此，看过张益唐的新论文后，上述数论学者指出，张益唐新论文对其2007年挂到arxiv上的论文进行了完善。一方面，张益唐新论文的结果较该领域以往研究结果有革命性改进；另一方面，这个结果没有好到“吓人”的程度。

“新论文尚未完整证明朗道-西格尔零点不存在，所以张益唐现阶段并没有完整解决朗道-西格尔零点猜想。同时，从张益唐的论文来看，其当前研究路线很可能无法最终解决朗道-西格尔零点猜想。”该数论学者认为，虽然这个结果证明不了朗道-西格尔零点猜想，但其“强度”已经足以在极大范围上排除西格尔零点。这种范围对于解析数论学者来说，足够将其应用到数论问题中，并得到大量有意义的结论。

该数论学者进一步解释道，以往的很多论文，要假设朗道-西格尔零点猜想成立（也即假设西格尔零点不存在）；张益唐的新论文虽然没有排除掉西格尔零点存在的可能性，但其排除掉的范围足够涵盖很多以往论文所需的范围。这使得以前的很多结果从假设性结果变成了确定性结果。

“当然，该论文需要专业人士进一步验证。论文从2007年版的54页扩到现在2022年版的111页，审稿会是一个大工作。”该数论学者说，“像这种论文，即使是顶尖的专业人士，把论文全部细节推一遍也得几个月，所以很难很快下定论。”

田刚院士也表示，张益唐的这篇论文很长，预计需要专家通过较长时间来完成论文评审工作。

关于朗道—西格尔零点猜想，《中国科学报》今年10月曾发文作介绍：该猜想与已经悬置160多年的著名数学难题“黎曼猜想”相关。简单说，如果存在朗道-西格尔零点，那么黎曼猜想就是错的；如果朗道-西格尔零点不存在，则不会和黎曼猜想发生冲突。无论是哪种结果，无疑都是数学史上里程碑式的事件。张益唐的同事、数论学家Stopple曾说，如果张益唐能对此作出证明，那么加上他的上一份成就，在某种意义上，（其概率）就像是同一个人被闪电劈中两次。“如果他从未成名，那么做出这项工作也会让他跟上次一样被世界瞩目。”

张益唐的“上一份成就”是，2013年在《数学年刊》发表《质数间的有界间隔》，证明了存在无穷多对质数间隙都小于7000万，从而在孪生素数猜想这一数论重大难题上取得重要突破。

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美籍华裔数学家张益唐被曝已证明黎曼猜想 震动数学界

作者：新湖南

发布时间：2022-10-16 20:20

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Breaking News！

网传数学家张益唐，已经攻克了朗道-西格尔零点猜想（Landau-Siegel Zeros Conjecture）。

而这则消息，据说是张益唐在参加北京大学校友Zoom线上会议时亲口所述。

如此爆料，可谓是在数学界轰动不已。

微博博主“物理芝士数学酱”认为，如果张益唐所证明的是朗道-西格尔零点存在，那么黎曼猜想就可以死了：

张益唐直接就是前后50年里最伟大的数学家，没有之一。

但与此同时，他认为“这就过于骇人听闻”，因此他更倾向于认为张益唐所证明的，是朗道-西格尔零点不存在——“这也是更令人信服的结论”。

但这项工作的价值可以说是毋庸置疑，正如知乎网友爆料所述：

张益唐要是能把Landau-Siegel做出来，就相当于一个人被闪电击中两次。

并且根据这条爆料消息来看，相关文章将会在11月初发到预印本网站，一百多页。

那么这个朗道-西格尔零点猜想到底是什么？

对它的证明，又为何会引发如此反响？

朗道-西格尔零点猜想

所谓朗道-西格尔零点猜想，简单来说就是黎曼猜想的某种弱形式。

核心要回答的一个问题就是：是否存在一个叫做朗道-西格尔零点的东西。

首先我们设实数σ，t和复数s=σ+it。

根据知乎博主“TravorLZH”的介绍，十九世纪的数学家为了研究素数分布引入了黎曼猜想。

而为了研究等差数列上的素数分布，数学家Dirichlet引入了L函数。

再后来，数学家也发展出了对应的解析工具来说明L函数在σ=1时无零点，从而证明了等差数列上的素数定理：

但对于上面的公式，数学家们依旧是不满意，他们还要继续缩减L函数的非平凡零点的存在区域。

于是前人证明了L函数的非平凡零点基本上都能落在类似于下面公式中的沙漏型的区域：

如果L函数所有的非平凡零点都落在这个区域内，就可以得到带余项的等差数列素数定理。

可惜的是，数学家Edmund Landau发现当X满足特殊性质时其对应的L函数可能会出现落在上面公式之外的异常零点（exceptional zero）。

但幸运的是，Landau证明了对于每个这样的L函数，若下面区域中存在异常零点，则这样的零点只可能出现一个，而且阶数也恰好只能是一。

后来Walfisz利用这个更弱的非零区域得到了一个妥协版的等差数列素数定理：

很明显，这个公式的限制条件要多了许多，所以大家当然希望L函数能够没有异常零点。

由于Landau和Siegel两位数学家在L函数异常零点这个领域里做了开创性的工作，所以异常零点也常常被称为Landau-Siegel零点。

而断言L函数没有异常零点的猜测就被称为Landau-Siegel猜想。

整体来看，其实广义黎曼猜想恰好是Landau-Siegel猜想的充分条件。

但这一个世纪以来的研究表明Landau-Siegel问题可以比黎曼猜想还要难解决。

因此，要是张益唐证明的是朗道-西格尔零点，那么黎曼猜想是错的。

这也就是为何大家都对这则消息都用“骇人听闻”来形容了。

但就目前来看，很多人都更倾向于认为他证明的是朗道-西格尔零点不存在。

如此一来，就不会和黎曼猜想发生冲突。

至于具体证明了什么，还需要等待张益唐本人的正面回复了。

而且很多网友对此都认为：

考虑张的平生，其人沉稳坚毅，肯定不会信口胡说。

不过需要说明的是，目前为止，张益唐本人并未在其他场合和形式宣布这一进展。

半生蛰伏，一鸣惊人

实际上，关于朗道-西格尔猜想，早在07年老张就曾预印了一篇论文，但是里面的论证有些Bug。

此后，他多次提到过他正在关注这个问题。

然后在2019年，张曾表示在这个猜想上已取得一些可喜的进展。

不过要说张益唐从默默无闻到名声大振，还得把时间的指针拨到2013年。

那一年，他在数学最高期刊Annals of Mathematics上发表了震惊众多学者的《质数间的有界间隔》。

这篇文章首次证明了距离有限的质数对是无穷多的，在孪生素数猜想这一数论难题上取得质的突破。

而在这篇论文发表之前，他曾有令人羡慕的中外顶尖学府求学经历，但随后却经历了多年的蛰伏，甚至不得已跑去赛百味端盘子。

1978至1985年，张益唐在北大数院拿到了本科和硕士学位，并在硕士期间师从我国著名数学家潘承彪。

后来代数几何学家莫宗坚访问北大，并发掘了张。随后张就跟着莫飞往美国，到普渡大学（号称“太空人的摇篮”那个）读博。

最终当张提交博士毕业论文时，他已在普渡大学读了6年半，但在此期间他发表的学术论文寥寥无几。

值得一提的是，张益唐自己并不太喜欢代数几何学，而更热衷于数论。

所以他希望博士毕业以后离开这个圈子，回头去研究他感兴趣的数论，但导师莫宗坚得知后并不高兴，于是两人分歧越来越大。

结果就是，等张好不容易博士毕业，他却没有导师的工作推荐信。

（莫宗坚在张益唐成名后曾发文澄清过此事，认为没写推荐信是因为自己不知道给张推荐现成的工作是否合适，而且称这种做法在当时已经不太流行了）

再加上他性格偏内向，以及在读博期间发表的学术论文太少等因素，竟没有任何一个美国大学或研究所愿意要他。

曾有朋友向张建议转行从事金融或计算机行业，但他并不愿意。

一边是继续苦苦钻研数论；另一边，他也不得不四处谋生，但可惜在很长时间内，他都没找到好工作，有时甚至只能借住朋友家的地下室。

在此期间，他曾到一位北大校友开的快餐连锁店赛百味担任会计。因为这样可以让他在工作中发挥记忆力和计算能力方面的特长，并抽空研究数学。

所幸，他人生中的又一位“伯乐”出现了，是他在北大和普渡大学的校友唐朴祁。

1999年，张益唐与唐朴祁合作发表一项互联网专利。这项专利涉及一个实用性很广的计算机算法难题，但张只用了3周的时间就搞定了，这令唐对其刮目相看。

于是，唐朴祁向在新罕布什尔大学任教的学弟葛力明介绍张益唐，然后经葛力明推荐，张益唐先后在这里担任数学系与统计学系的助教和讲师，执教微积分、代数、初等数论等课程。

到此，他终于回归了学术圈，有了关注新进展、了解同行思想和下载学术论文的便捷渠道。

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15年磨一剑：张益唐证明「黎曼猜想」相关问题

作者：北京蓝龙

发布时间：2022-10-17 16:36

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近日，网传消息称张益唐似乎已攻克数学界一大难题，此消息一出，震惊整个数学圈。这两天，张益唐“攻克”朗道-西格尔零点猜想（Landau-Siegel Zeros Conjecture）的传闻铺天盖地。据称，张益唐在参加10月15日北京大学校友Zoom线上会议时，在口头上承认了这一点。（图1）

曾经解决了“孪生质数猜想”从0到1的一步时，张益唐就已经轰动全世界数学圈。而如果他真的解决了朗道-西格尔零点猜想，无疑会引发一场大地震。

不过，相关论文似乎得等到下个月才能看到。

让我们搓手以待。

这篇论文，张益唐修改了9年

上一次张益唐在互联网上引起这么大的关注，还是在2013年。

当时，他完成了论文《素数间的有界距离》，证明了“弱化版本的孪生素数猜想”。

论文于2013年发表在《数学年刊》上。《素数间的有界距离》手稿见图2.

作为数学界耳熟能详的华人“大牛”，一般人可能会以为张益唐成果颇丰。

但实际上，他在40多年的学术生涯里，只发表过屈指可数的几篇论文。

其中比较出名的几篇，除了2013年发表的“弱化版孪生素数猜想”之外，另外两篇分别发表在2001年的《杜克数学期刊》和1985年的《数学学报》上，都是关于朗道-西格尔零点猜想的。

在接受《人物》周刊采访时，张益唐曾解释道：长久不发论文的原因，是因为自己很难接受“Partial result”（部分结果）——他手上已经攒了一些随时可以出成果的研究，但他不甘心拿出来，因为“完全做完之后拿出来的东西就是大东西了。”

这与如今主流数学家的做法都不同。

在成名前，张益唐就已经研究了朗道-西格尔零点猜想很多年。

2007年5月，他还在University of New Hampshire时，就曾为此写过一篇论文草稿（图3）。

当时，这篇论文还不完整，只是关于朗道-西格尔猜想的一个大概的证明纲要，张益唐把它在预印本服务器上保存了下来，然后就把它“撂下”，跑去做快要成了的“孪生素数”问题了。

天才的预判果然很有道理，接下来发生的事，你们已经知道了。

关于“孪生素数猜想”的论文让他大爆，一跃成为学界“顶流”。

Nature在“突破性新闻”栏目里对此成果做了专题报道。同时，罗夫·肖克奖 、柯尔数论奖、麦克阿瑟天才奖等重量级奖项，张益唐都拿到手软。

关于他的神奇事迹也被各媒体争相报道。

现在，时隔9年，因为他的一句话，数学圈忽然又沸腾了。

推测一下，应该是被他“撂下”多年的那篇朗道-西格尔零点猜想论文大纲已经补充完毕，完整论文出炉了。

这次，张益唐是准备二“爆”了？

那么什么是张益唐令人称奇的“孪生素数”问题--亲戚素数的无限对的问题？看看杨振宁教授的”小学生“都能听懂的解释：见图4、/5、/6！

对于杨振宁教授的解释，张益唐本人表示：“杨振宁教授的介绍既通俗又清楚，如果让我自己讲的话，我肯定讲不了那么好。”（我们这些所谓的科普人，不正是追求这种境界吗？）

目前，坊间已经在热议，如果传说为真，张益唐的成就是否能超越丘成桐、陈景润。

让我们静等11月，看看张益唐是否会交出令自己满意的“大东西”。

数学是人类文明前进的灯塔！此言不虚！

张益唐神人的照片见图7！

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